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三角函数的应用

知识点详情

三角函数的应用知识点包括简谐运动、三角函数解决物理问题的三个关键量、曲线拟合和预测的步骤、三角换元的独特之用等部分,有关三角函数的应用的详情如下:

简谐运动

在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式

 

 

)给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωxφ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.

三角函数解决物理问题的三个关键量

(1)物体运动的初始位置,即初相.

(2)完成一次运动需要的时间,即周期.

(3)离开平衡位置的最大位移,即振幅.

曲线拟合和预测的步骤

(1)根据原始数据,绘出散点图;

(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;

(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;

(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据

三角换元的独特之用

换元法又称辅助元素法,“三角换元”是其中一种换元方法,即把某个式子用某一三角函数表示,将问题转化为三角函数问题,也是三角函数的一种应用.

典型例题
【第1题】  

函数y的周期、振幅、初相分别是(  )

A.      

B.

C. 

D.

【第2题】  

已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(  )

A.T=6,φ

B.T=6,φ

C.T=6π,φ

D.T=6π,φ

【第3题】  

弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知该振子振动的(  )

A.频率为1.5 Hz

B.周期为1.5 s

C.周期为6 s

D.频率为6 Hz

【第4题】  

如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s 的函数关系式为s=6sin(2πt),那么单摆来回摆动一次所需的时间为________.

【第5题】  

已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sint∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.

①小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?

②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?

③经过多长时间小球往复振动一次?

【第6题】  

计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)=(t-79)+12,其中t(tZ)表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推,常数k与某地所处的纬度有关.

(1)在波士顿,k=6,试画出当0≤t≤365时函数的图象;

(2)在波士顿哪一天白昼时间最长?哪一天最短?

(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时.

【第7题】  

某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10-2sint∈[0,24).

(1)求实验室这一天的最大温差;

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?

【第8题】  

某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作yf(t),下面是某日水深的数据.

t/小时

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y/米

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

 

经长期观察,yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAsin ωtb的图象.

(1)试根据以上数据,求出函数yf(t)的近似解析式;

(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)

【第9题】  

已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记yf(t),下表是某日各时的浪高数据:

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1

0.5

0.99

1.5

 

经长期观测,yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos ω tb的图象.

(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;

(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?

【第10题】  

实数xy满足,若xyk>0恒成立,求k的取值范围.

【第11题】  

弹簧振子以O为平衡位置,在BC两点间做简谐运动,BC相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次到达C点,求:

(1)振动的振幅、周期和频率;

(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.

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