复数的乘、除运算_高中数学知识点总结

复数的乘、除运算
知识点详情
复数的乘、除运算知识点包括复数的乘法法则、复数的乘法满足的运算律、复数代数形式的除法法则、关于共轭复数的常用结论、复数的乘除法、共轭复数、虚数单位i的乘方等部分，有关复数的乘、除运算的详情如下：复数的乘法法则设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z₁·z₂＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 复数的乘法满足的运算律对任意z₁、z₂、z₃∈C，有复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．关于共轭复数的常用结论复数的乘除法 (1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i²应化为－1. (2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式. 共轭复数 (1)复数z的共轭复数通常用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. (2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a²＋b²＝\|z\|²＝\|\|². (3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这是判断一个数是否为实数的一个准则． (4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．虚数单位i的乘方由i⁴＝1，则对任意n∈N^*，i的幂的周期性如下： i⁴ⁿ^＋1＝i，i⁴ⁿ^＋2＝－1，i⁴ⁿ^＋3＝－i，i⁴ⁿ＝1.
典型例题
【第1题】　　 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)²＝(　　) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i (2)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 查看答案解析【第2题】　　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)； (3)(1－i)³. 查看答案解析【第3题】　　已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z 查看答案解析【第4题】　　知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.1 D.2 查看答案解析【第5题】　　计算：(1) (2) 查看答案解析【第6题】　　已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　) A.－2－i　　　　　　　 B.－2＋i C.2－i D.2＋i 查看答案解析【第7题】　　 z₁，z₂是复数，且z1(2)＋z2(2)<0，则正确的是(　　) A.z1(2)<z2(2) B.z₁，z₂中至少有一个是虚数 C.z₁，z₂中至少有一个是实数 D.z₁，z₂都不是实数查看答案解析【第8题】　　设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A.－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i 查看答案解析【第9题】　　若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝查看答案解析【第10题】　　复数的共轭复数是查看答案解析【第11题】　　已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数； (2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．查看答案解析