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教学难点：勾股定理的证明思想与应用

教学重点：了解勾股定理的历史与勾股定理的证明方法

教学设计

1、引入新课：我们在初中学习过勾股定理的探索与证明，那你们知道为什么把直角三角的三边分别叫做勾、股、弦、呢？那最早发现勾股定理是怎样发现的呢？

2、切入主题：勾股定理是一个 基本 的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《 周髀算经 》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理； 三国时代 的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。

实际上，早在蒋铭祖之前，许多 民族 已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的 数学 和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊。 古希腊 流传下来的最古老的数学著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。

至于希腊科学的起源只是公元前近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做 股 ，斜边叫做弦。

“勾三股四弦五”的由来：勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了.我国古代也发现了这个定理.据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五.”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”从而就有了“勾三股四弦五”的说法

赵爽的证明方法：我国最早的证明方法是三国时期的赵爽在《周髀算经》中记载到，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。

如图所示

以弦C为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形GHBF组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b－a，则面积为（b－a）2。于是便可得如下的式子：

　　4×（ab/2）＋（b－a）2＝c2

化简后便可得：

邹元治证法：据记载在西方国家毕达哥拉斯是第一个证明出勾股定理的简称“毕氏定理”他的证明方法

如右图所示：大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形

∴

∴

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6、欧几里得证法

利用三角形相似证明

8、利用割线定理证明

9、直角三角内切圆证明