北师大2003课标版《1.1定积分背景——面积和路程问题》公开课教案下载

北师大2003课标版《1.1定积分背景——面积和路程问题》公开课教案优质课下载

（1）理解定积分概念形成过程中的基本思想和定积分的概念及其几何意义。

（2）理解分割、近似代替、求和、取极限四个步骤，感受其中渗透的思想方法。

（3）能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题。

2、过程与方法：

（1）通过具体问题的解决，形成先求近似解、再提高精确度的定积分的解决问题的基本思想方法。

（2）通过洞察不同背景的问题中蕴含着相同的数学内涵的过程，提高从数学角度分析和看待问题的能力，理解数学概念形成的基本过程和方法。

（3）通过多媒体辅助及时验证学生探究的成果，让学生在探究的基础上，及时直观的感知极限的思想，同时提高学生的信息技能素养。

3、情感态度价值观：

（1）通过汉对不同背景下的问题中蕴藏的统一的数学内涵的过程的揭示，使学生认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量。激发学生的学习兴趣和探究欲望，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学。

（2）通过本节课的学习，使学生体会化归与转化、极限思想等数学思想以及运动变化、量变引起质变等辩证唯物主义思想。

【教学重难点】：

教学重点：从实际问题的解决过程中抽象出定积分的解决问题的思想方法和步骤。

教学难点：

（1）探究先得到近似解、再提高精确度的解决问题的方法。

（2）由曲边梯形面积问题进一步探究变速直线运动的路程。

【教学方法】：启发诱导、合作探究、大胆展示、提炼规律。

【教学用具】：多媒体课件、直尺、交互式电子白板。

【教学过程】：

一、设置问题情境，引入新课:

同学们请看，这是长江三峡的美景。（展示课件）在广阔的江面上，横跨着长江三峡大坝，将长江一分为二。上游的高峡平湖和下游的滔滔江水形成鲜明的对比。在夕阳的余晖里，这里常出现“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”的美景。现在有这么一个问题：已知三峡大坝某部分的截面图是这样的：最上面AB段是一段抛物线，中间BC段是直线段，下面CD段是一段圆弧。想要建造这样的大坝，自然是要根据截面图尽可能准确的算出截面积。那怎么计算呢？你有什么想法呢？（学生讨论回答）很多同学提出两个字：分割。我们小学的时候就学过割补法，这里怎么分割呢？很多同学会想到，过B和C分别作x轴的垂线，就可以将图形分成三部分。中间以部分梯形容易计算面积。那左边一部分曲边梯形和右边一部分曲边三角形的面积又该如何计算呢？带着这个问题，让我们来共同学习本章的第一节：定积分的概念。（板书：定积分的概念）今天，我们来学习本节的第一课时：定积分的背景——面积和路程问题。

二、实例分析、整体感知：

1、刚才同学们提到了分割。其实这种方法在小学的时候就已经有所体现。例如，这是同学们熟悉的曹冲称象的故事（展示课件）：大象是一个整体，不容易称量重量。曹冲很聪明。他是怎么做的？他利用船的吃水深度不变，则船上的物品重量相等。将一头大象的重量等价成一堆小石子的重量。先化整为零，再积零为整，将原本不易解决的问题巧妙的解决了。体现了化归与转化的思想。

这是与实际生活相关的例子。那在有关平面图形的问题上，同学们有没有见过类似的解决方法呢？在小学，我们还学过圆的面积公式。同学们还记得怎么得到的吗？（课件展示动画效果）我们将圆等分成4份、8份、16份、32份……。我们发现，分得份数越多，最终拼成的图形越接近长方形。当继续分割、无限分割的时候，上面的曲线就会越来越平，最终用直线代替曲线。这个长方形的长和宽分别是多少？（提问）于是得到圆的面积。回顾整个过程，也是先化整为零的分割、再积零为整的求和。那我们为什么要这样做呢？这时，我们有没有一步到位的算出圆面积的精确解呢？没有。遇到什么困难了？（学生讨论回答）圆周是曲线，为面积的计算带来了困难。我们如何解决这个困难的呢？分割。但如果分割份数较少，我们能不能用这个小矩形的面积近似代替圆的面积呢？（学生讨论）误差太大。这时，我们又是如何减少误差、提高精确度的呢？继续分割。当无限分割的时候，就能达到一个以直代曲的目的。将不易解决的曲线问题转化为易于解决的直线问题，将不易计算的圆的问题转化为易于计算的长方形面积问题来解决。也是体现了化归与转化的思想，当然这里还有无限逼近的思想。

三、合作探究、突出学生的主体作用：

1、分析了以上两个例子，现在回到求曲边梯形面积的问题上来。我们现在遇到的困难又是什么？（学生讨论回答）一条边是曲线，为面积的计算带来了困难。那同学们能不能从刚才两个例子中得到启发，找到解决问题的方法呢？（展示课件上的表格）请同学们对照这个表格，分组讨论后提问。（板书：一、求曲边梯形的面积）