北师大2003课标版《不等式的证明》优质课教案下载

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二、教学目标设置

【教学目标】

1.理解用比较法、分析法与综合法证明不等式的基本思路，会运用适当方法解决有关不等式证明的问题；

2．在探索不等式证法的过程中，提升逻辑推理能力，发展正向、逆向的数学思维及数学抽象能力，发展数学表达、交流的能力；在例题阅读的过程中，提升数学阅读能力，形成严谨的思维；

3．在参与数学学习和问题解决的活动中，养成批判思维的习惯，一丝不苟的作风和锲而不舍的精神．

【教学重点】用比较法、分析法与综合法证明不等式．

【教学难点】寻找运用比较法、分析法、综合法解决问题的策略．

五、教学过程

一、比较法：

1、比较法作差后怎样变形？变形的目的是什么？

提示　作差后为了容易判别差的正、负，常用变形方法为：一是配方法，二是分解因式．

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

2、具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法？哪种类型的不等式证明常用作商、哪些常用作差？

提示　当不等式两端的式子同号时，可用作商比较法．一般地，证指数不等式常用作商法，证对数不等式时，常用作差法．

【例】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2.

证明一：比较法（作差）

（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）

=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)( a2-b2)=( a-b)2(a+b).

∵a>0，b>0，∴a+b>0，而( a-b)2≥0.

∴( a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,

即a3+b3≥a2b+ab2.