人教A版2003课标版《复习参考题》集体备课教案设计

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教学难点：向量表达的转换和化简

教学过程：

导入新课

　在近几年高考及各地模拟考试中，出现许多有关三角形四“心”的向量形式的优美考题．使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识．特在此分类解析，旨在探索题型规律，以提升同学们的数学思维能力．

二、讲解新课

　一、“重心”的向量风采

　　例1　已知 是 所在平面上的一点，若 ，则 是 的（　　）．

　　Ａ．外心　　Ｂ．内心　　Ｃ．重心　　Ｄ．垂心

　　解析：由题意，得 ，以 、 为邻边作 ，设 与 相交于点 ，则 为 的中点．由 ，得 ，即 四点共线，故 为 边中线上的点．同理可得 也为 边的中线上的点，所以 是 的重心．故选（Ｃ）．

　　例2　已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的（　　）．

　　Ａ．外心　　Ｂ．内心　　Ｃ．重心　　Ｄ．垂心

　　解析：由题意 ，当 时，由于 表示 边上的中线所在直线的向量，所以动点 的轨迹一定通过 的重心．故选（Ｃ）．

　　二、“垂心”的向量风采

　　例3　 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的（　　）．

　　Ａ．外心　　Ｂ．内心　　Ｃ．重心　　Ｄ．垂心　

　　解析：由 ，得 ，即 ，所以 ．同理可证 ， ．∴ 是 的垂心．故选（Ｄ）．

　　例4　已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（　　）．

　　Ａ．外心　　Ｂ．内心　　Ｃ．重心　　Ｄ．垂心

解析：由题意 ，由于 ，所以 表示垂直于 的向量，即 点在过点 且垂直于 的直线上，所以动点 的轨迹一定通过 的垂心．故选（Ｄ）．

　　三、“内心”的向量风采

例5　已知 为 所在平面上的一点，且 ， ， ．若 ，则 是 的（　　）．

　　Ａ．外心　　Ｂ．内心　　Ｃ．重心　　Ｄ．垂心

　　解析：∵ ， ，则由题意得 ，∴ ．∵ 与 分别为 和 方向上的单位向量，∴ 与 平分线共线，即 平分 ．同理可证： 平分 ， 平分 ．从而 是 的内心．故选（Ｂ）．

　　例6　已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（　　）．