北师大版选修4-5 不等式选讲《 第一章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明 习题1—4》优秀教案设计

北师大版选修4-5 不等式选讲《 第一章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明 习题1—4》优秀教案设计

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．基本不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b＞0，那么 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 eq \f(a＋b＋c,3) ≥ eq \r(3,abc) ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

2．比较法

(1)作差法的依据是：a－b＞0?a＞b.

(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证 eq \f(A,B) ≥1.

3．综合法与分析法

(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．

(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

[例1]　设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ eq \r(ab) (a＋b)．

[证明]　因为a2＋b2－ eq \r(ab) (a＋b)

＝(a2－a eq \r(ab) )＋(b2－b eq \r(ab) )

＝a eq \r(a) ( eq \r(a) － eq \r(b) )＋b eq \r(b) ( eq \r(b) － eq \r(a) )

＝( eq \r(a) － eq \r(b) )(a eq \r(a) －b eq \r(b) )

＝(a eq \f(1,2) －b eq \f(1,2) )(a eq \f(3,2) －b eq \f(3,2) )，

因为a≥0，b≥0，

所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b， 都有a eq \f(1,2) －b eq \f(1,2) 与a eq \f(3,2) －b eq \f(3,2) 同号，

所以(a eq \f(1,2) －b eq \f(1,2) )(a eq \f(3,2) －b eq \f(3,2) )≥0，

所以a2＋b2≥ eq \r(ab) (a＋b)．

[方法技巧]

作差比较法证明不等式的步骤