高一下册数学《第5章 三角比 一 任意角的三角比 5.1 任意角及其度量》精品课教案

高一下册数学《第5章 三角比 一 任意角的三角比 5.1 任意角及其度量》精品课教案

(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制 定义的合理性；

(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.

【教学重点与难点】

重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

难点：弧度制定义的理解．

【教学过程】

引入

我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角， 的角是如何定义的？

我们规定把周角的 作为 度的角．

把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.

例：已知三角形中两个内角分别为 ， ，求它的另一个内角的大小.

在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否 重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

弧度制的概念

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ，弧 所对的圆心角 就是 弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度．

图1

的弧度数 的弧度数

提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度 数是多少？

若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？

因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 ．

　　在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角， 且它所对的弧长 ，则 这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？

即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？

（易证以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小 有关．）