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《12.1实数的概念》新课标教案优质课下载
【教学重点】
对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。
【教学难点】
理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系
【教学过程设计】
复习引入
我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 形式，其中对p、q有没有什么要求呢？（p、q为整数，p、q互素，且P不为0）。平时为了感受分数的大小，又能够将分数 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 化为有限小数或者无限循环小数。
特别的当P=1时， EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 可以表示一个整数。由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 来表示。
问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT （p、q为整数，且P不为0）的形式？
即：有没有不是有理数的数？
【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 即是一个无限不循环小数。
二、新课讲授
【活动一】正方形剪拼，引出 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 。
我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT ，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。
问题1：新的这个正方形的面积是多少？（ EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT ）
问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT ，则可以得到 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 。以我们现有的有理数知识，我们不知道 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 的取值，我们暂且称它为 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT “根号2”）
这个 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 是我们拼成的面积为2的大正方形的边长，也是原来面积为1的小正方形的对角线长。（图示）
问题3：那么 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 究竟有多大呢？它到底是不是有理数呢？我们通过下面这个活动来解决这两个问题。
【活动二】在数轴上探究 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 的大小。
①首先我们知道1的平方是1，2的平方是4。所以 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 一定介于1与2之间（否认了它是整数）
②接下来我们取什么值与它比较？1.5的平方是2.25大于2，所以 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 小于1.5
③再接下来我们取什么值与它比较？1.4的平方是1.96小于2，所以 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 大于1.4
④我们再来做一组，1.42的平方是2.0164大于2，所以 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 小于1.42
【分析】如此往复下去我们知道我们是在取有理数去无限逼近这个 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT ，我们能体会到它一定也是个无限小数，随着我们不断取有理数去逼近 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT ，我们知道小数位上的数字呈无规律出现，并且小数位越多，就与 EMBED Equation.KSEE3 ﹨ MERGEFORMAT 越贴近。因此它是一个无限且不循环的小数。
其实历史上早已经有人发现了这个问题：