沪科2011课标版《垂径定理》优质课教案设计

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C．A在圆上，B在圆外，M 在圆内

D．A在圆内，B在圆外，M在圆上

解析：Rt△ABC中，AB＝ eq ﹨r(22＋42) ＝ eq ﹨r(20) ＝2 eq ﹨r(5) ，CM＝ eq ﹨f(1,2) AB＝ eq ﹨r(5) ，又2＜ eq ﹨r(5) ＜4，故A在圆内，B在圆外， M在圆上．

答案：D

2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的半径是__________．

解析：本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm)，半径r＝ eq ﹨f(1,2) A B＝ eq ﹨f(1,2) ×10＝5(cm)；(2)点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6(cm)，半径r＝ eq ﹨f(1,2) ×6＝3(cm)．

答案：3 cm或5 cm

新课早知

1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧．

4．圆心到弦的距离叫做弦心距．

1．垂径定理

【例1 】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4 米，你能求出赵 州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？

分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．

解：如图， 表示主拱桥，设 所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交 于点C.

根据垂径定理，则D是AB的中点，C是 的中点，CD为拱高．

在Rt△OAD中，AD＝ eq ﹨f(1,2) AB＝37.4× eq ﹨f(1,2) ＝1 8.7(m)，OA＝27.9 m，

∴OD＝ eq ﹨r(OA2－AD2) ＝ eq ﹨r(27.92－18.72) ≈20.7(m)．

∴CD＝OC－OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．

∴赵州桥的拱高为7.2 m.

点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h.它们之间的关系有r＝h＋d(或r＝h－d)，r2＝d2＋( eq ﹨f(a,2) )2.