《数学活动》集体备课教案设计

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重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题

【学习过程】

复习回顾：

1、如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？

你的理由是什么？

2、如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

二、探索新知：

问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？

答：(1)从A 地出发，到河边 l 饮马，然 后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

展示点评：作法：

(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l 交于点C.