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矩形的判定

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矩形的性质

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知识点1 矩形的判定方法1

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

知识拓展 用定义来判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是平行四边形，二是平行四边形的一个内角为直角.

知识点2 矩形的判定方法2

有三个角是直角的四边形是矩形.

在四边形ABCD中，∠A=∠B =∠C= 90°，根据四边形的内角和是360°，可得∠D=90°.

知识点 3 矩形的判定方法 3

对角线相等的平行四边形是矩形.

如图20-40所示，在□ABCD中，AC=BD，因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD，由AC=BD，可得OA=OB=OC=OD，所以△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，所以∠1=∠5，∠2=∠6，因为∠1= ×（180°－∠4），∠2= ×（180°－∠3），所以∠1＋∠2= ×[360°－（∠3＋∠4）]，又因为∠3＋∠4=180°，所以∠BAD=∠1＋∠2=×(360°－180°) =90°，根据矩形的定义可知四边形ABCD是矩形.

拓展 用此方法来判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是平行四边形，二是平行四边形的对角线相等.

探究交流

1、有一个角是直角的四边形是矩形吗？两个角呢？

解析：如图20-38所示，∠B=90°，因为它不一定是平行四边形，所以它并不能保证∠C，∠D，∠A都是直角，即四边形ABCD不一定是矩形.

2、对角线相等的四边形是矩形吗？

解析：两条同样长度的线段相交，当它们的交点不是这两条线段的中点时，顺次连接两条线段的四个端点，所得到的四边形不是矩形.

例题解析

例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，

求证：四边形ABCD是矩形

例2：平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,

求证:四边形ABCD是矩形。

基础知识应用题