湘教2003课标版《用二阶导数判断极值》公开课教案下载

湘教2003课标版《用二阶导数判断极值》公开课教案优质课下载

《用二阶导数判断极值》是在学生学习了利用导数研究函数的单调性和极值之后，利用导数工具研究函数性质的又一实例，在其余版本的教材中没有这部分内容，但二阶导数在高考中（如函数的“凹凸性”等）及用导数研究函数的过程中（如“二次求导”等）经常用到，所以有必要补充这一内容。这不仅有助于学生进一步认识和理解导数的工具性作用，还有助于借助二阶导数更快更好地解决有关函数问题。

函数极值的定义为判断可导函数极值提供了方法，即先求一阶导数为零的根（驻点），再判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化。如果导函数在驻点附近的符号（正负）不发生变化，则驻点不是极值点；如果导函数在驻点附近的符号（正负）发生变化，则驻点是极值点。判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化，一般是采用列表或者画导函数图象的方法，但列表的过程比较繁琐，有时导函数的图象不容易画出。二阶导数为解决这类问题提供了新的视角，即抓住二阶导数的正负与一阶导数单调性之间的关系，直接判断在导函数零点处的单调性，从而判断极值情况。用二阶导数判断极值与用定义判断极值在原理上一致，利于学生理解和掌握。

从联系初等数学与高等数学的角度看，用二阶导数判断极值起着承上启下的作用。在高等数学中，利用二阶导数判断函数极值有三个充分条件，利用极值的定义是第一充分条件，本节内容是第二充分条件。在现行教材中，略去了“连续”及“极限”理论，本节课涉及到的很多细节问题，需要学生到高校后进一步学习研究，本课没有细究，只留了一道选做题供学有余力的学生课后思考。

二、学情分析

我所教的高2019届1班的学生基础较好，有比较好的学习习惯。针对“用二阶导数判断极值”的学习所必须的要素分析如下：

1.知识储备。

学生在本章已经学习了导数的概念及几何意义，会求常见函数的导数，会利用导数研究函数的单调性及用定义判断函数的极值。

2.认知能力。

优势：通过导数的概念、几何意义及利用导数研究函数的单调性等知识的学习，知道了函数在某点的导函数值反映了曲线在该点处切线的斜率；通过本章内容的学习，具备了一定的观察、猜想、抽象、归纳及自然语言、符号语言、图形语言的认识和转换的能力。

不足：本课内容的综合性较强，难度较大，需要大量的数学抽象和逻辑推理，需要综合应用到数形结合、分类讨论等思想方法，这正是学生的“软肋”。在本课的学习中，寻找的仅仅是充分条件，而非必要条件，一阶导数为零且二阶导数也为零的点不一定不是极值点（如在处），这里虽然可以类比一阶导数为零的点不一定是极值点，但学生总体感觉“绕”，是难点，理解容易产生困难。

3.心理基础。

二阶导数是一阶导数的导数，可以与导数研究函数的性质类比，学生并不陌生，用二阶导数判断极值依旧是处理极值问题，学生对此比较熟悉，有亲切感。充分把握二阶导数的概念，由二阶导数的符号反推一阶导数及原函数图象的特征，学生有探究的欲望。在学习的过程中需要让学生明白，用定义可以求函数的极值为何还要学习用二阶导数判断极值，及这两种方法之间的联系。

三、教学目标

◆【知识与技能】

1、理解二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性及原函数的“凹凸性”之间的关系；

2、理解利用二阶导数判断函数在处取得极值的充分条件，掌握利用二阶导数判断极值的原理与方法。

◆【过程与方法】

1、通过研究二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性、二阶导数的符号（正负）与原函数的“凹凸性”之间的关系、二阶导数值的符号（正负）与对应极值点的关系等问题，培养学生数学抽象、逻辑推理等学科核心素养。

2、在探究的过程中渗透化归与转化、特殊与一般、数形结合、分类讨论的思想方法，积累基本经验。

◆【情感态度价值观】

通过小组合作探究，激发学生的探究热情，培养学生勇于探究、理性思维的科学精神。

四、教学重难点

◆【教学重点】探究二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性、二阶导数的符号（正负）与原函数的“凹凸性”之间的关系，二阶导数值的符号（正负）与对应极值点的关系，提炼用二阶导数判断极值的原理与方法。

◆【教学难点】利用二阶导数判断函数在处取得极值的充分条件的探究过程，是否为零的发现与处理。

五、教法学法