《离散型随机变量的均值与方差》优质课教案设计

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（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若 是随机变量， EMBED Equation.3 是常数，则 也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为 EMBED Equation.3 ，则称表

ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．

（二）、探析新课：

1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξx1x2…xn…期望，简称期望．

2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

3、平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 ，则有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。

4、期望的一个性质:若 EMBED Equation.3 (a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξx1x2…xn…η EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 …Pp1p2…pn…于是 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 …

＝ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 …) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 … EMBED Equation.3 …)＝ EMBED Equation.3 ，

由此，我们得到了期望的一个性质: EMBED Equation.3

5、若ξ B（n,p），则Eξ=np

证明如下：∵　 EMBED Equation.3 ，

∴　 EMBED Equation.3 0× EMBED Equation.3 ＋1× EMBED Equation.3 ＋2× EMBED Equation.3 ＋…＋k× EMBED Equation.3 ＋…＋n× EMBED Equation.3 ．又∵ EMBED Equation.3 ，

∴ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＋ EMBED Equation.3 ＋…＋ EMBED Equation.3 ＋…＋ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ．故　　若ξ～B(n，p)，则 EMBED Equation.3 np．

6.例题探析：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分 EMBED Equation.3 的期望

解：因为 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3

例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数 EMBED Equation.3 的期望

解：∵ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 =3.5

例3. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ~ B（20,0.9）, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 。

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5 EMBED Equation.3 和5 EMBED Equation.3 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： EMBED Equation.3 。

例4．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

ξ123456P EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

所以 EMBED Equation.3 1× EMBED Equation.3 ＋2× EMBED Equation.3 ＋3× EMBED Equation.3 ＋4× EMBED Equation.3 ＋5× EMBED Equation.3 ＋6× EMBED Equation.3 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× EMBED Equation.3 ＝3.5．