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选修4-5 不等式选讲数学《第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式 习题2—1》精品课教案
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案： 及几种变式.
2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证
证法：（比较法） =….=
二、讲授新课：
1. 教学柯西不等式：
① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则 .
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）
. （要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量 ， ，则 ， .
∵ ，且 ，则 . ∴ …..
证法四：（函数法）设 ，则
≥0恒成立.
∴ ≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式： 或
或 .
④ 提出定理2：设 是两个向量，则 .
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
→ 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）
⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 .
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）