人教A版选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数》优秀教案设计

人教A版选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数》优秀教案设计

(ⅲ) [a1, a2, (, ak] = [|a1|, |a2| (, |ak|]；

(ⅳ) 若a(b，则[a, b] = |b|。

证明 留作习题。

由定理1中的结论(ⅲ)可知，在讨论a1, a2, (, ak的最小公倍数时，不妨假定它们都是正整数。在本节中总是维持这一假定。

最小公倍数和最大公约数之间有一个很重要的关系，即下面的定理。

定理2 对任意的正整数a，b，有

[a, b] = EMBED Equation.2 。

证明 设m是a和b的一个公倍数，那么存在整数k1，k2，使得m = ak1，m = bk2，因此

ak1 = bk2 。 (1)

于是

。

由于 = 1，所以由第三节定理4得到

EMBED Equation.2 ，

其中t是某个整数。将上式代入式(1)得到

m = t 。 (2)

另一方面，对于任意的整数t，由式(2)所确定的m显然是a与b的公倍数，因此a与b的公倍数必是式(2)中的形式，其中t是整数。当t = 1时，得到最小公倍数

[a, b] = EMBED Equation.2 。

证毕。

推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除。

证明 由式(2)可得证。证毕。

这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数。

推论2 设m，a，b是正整数，则[ma, mb] = m[a, b]。

证明 由定理2及第三节定理2的推论得到

[ma, mb] = EMBED Equation.2 = m[a, b]。

证毕。