八年级下册《阅读与思考勾股定理的证明》优质课教案设计

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程一、问题情境

　国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.

　大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案由那些几何图形组成的？直角三角形的三边有怎样的关系？

　我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.

　[设计意图]　勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.

二、探究新知

　1.探索勾股定理

　(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.

　[过渡语]　(如教材第22页图)相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.

　师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1 - 2)

　(1)问题提出:在图17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么?

　(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.

　学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.

　(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

　追问:在图17.1 - 2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?如图所示.

　[设计意图]　这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.

探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系

[过渡语]　除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗?.

　(出示教材图17.1 - 3)

　提出问题:(结合带提示的下图)

　1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?

　2.正方形A',B',C'的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?

　学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'的面积.

　探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.

　同理,正方形A',B'的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C'的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C'的面积为34.