《⊙生活中的“一次模型”》公开课教案下载

一、学情分析

1、到目前为止,学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数,积累了一定的知识基础和活动经验,也对这三者之间的内在联系有了初步的认识,初步感受到了这三个“一次模型”的广泛运用。

2、学生对于这样的开放式课堂比较缺乏经验,可能在思考、交流、表达观点等方面不够有效,不够规范,但是积极性和参与热情是足够的。

二、教学目标

1、通过回顾总结,尝试提出问题，发现并运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数解决的一些实际问题具有相同的生活情境,体会模型思想，发展应用意识,提高实践能力,了解数学的价值。

2、综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题,体会三者之间的内在联系。

3、会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。

三、重点难点

1、教学重点:

进一步加深一元一次不等式、一元一次方程与一次函数三者之间的内在联系的认识，并运用“一次模型”解决实际问题。

2、教学难点:

理解为什么能将这三者集中融入一个问题情境,并能初步感知如何将这些“一次模型”运用在一个生活背景中解决不同情况下的问题，将研究的过程和结果形成报告并展示交流。

四、教学准备

1、指导学生复习一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的相关内容。

2、指导学生如何撰写数学研究方案。

3、将学生合理分成研究小组，提前预设一些生活中的实际问题，让学生提出问题并汇总确定好主题，进行数据的收集、整理、分析，共同形成方案。

五、教学过程

【导入】活动一：设疑引入

通过七年级和八年级两个学年的学习,我们一共接触了三大“一次模型”，分别是一元一次方程(二元一次方程组)、一次函数、一元一次不等式(组)，这三大“一次模型”在生活中的应用是非常广泛的。但是当提到“模型”这个词时，大部分同学感到抽象， “模型”“数学建模”到底是在做什么，接下来，我们一起对建模过程进行一个基本的认识。

数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程，这一过程可以用下列框图表示：

请问:你如何理解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数这三个“一次模型”之间的联系?

一般式模型性质 未知数个数

及其性质 实例

一元一次方程 kx+b=c(k≠0) 等式 一个未知数，解是定量

一元一次不等式 kx+b>c(k≠0) 不等式 一个未知数，解是范围

一次函数 y=kx+b(k≠0) 等式 两个未知数，都是变量

内在联系 三者都是描述现实世界中的量与量之间的关系的模型。例如：已知某地居民生活用水收费标准，用水量与水费之间的关系在特定条件下就可以转化为可以用以上三种模型解决的实际问题。

同学们仔细回想一下,在整个的学习过程中,生活情境基本上是相同的,比如我们从七年级到八年级,就一直在研究生活用水问题、每月缴纳电费问题、出租车费问题等等,但是同样的这些情境却会出现在不同的知识板块,我们用不同板块的知识解决了同一情境下出现的不同问题，这充分说明知识之间是有内在联系的。

举例说明生活中常见的用一元一次方程(组)或一次函数或一元一次不等式(组)相关知识解决的实际问题。

例：某地居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量12立方米(含12立方米)以下按2.65元/立方米的基础水价计收;12立方米以上部分按3.40元/立方米的二级水价计收(以上各类水价含城市公用事业附加费、污水处理费和水资源费)。

在此背景下，可以有以下基础问题：

(1)若某户居民5月份缴纳水费30元，那么该用户本月用水多少立方米?

(2)随着夏季来临，用水量逐渐增加。若想6月份水费不超过50元，则该户居民6月份最多可用水多少立方米?

(3)若用y(元)表示月水费，用x(立方米)表示月用水量，请写出y与x之间的关系式。

小结：上述以水费问题为情境的实际问题分别用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数知识解决。

通过上面的过程,你发现了一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间什么样的内在联系?请与同伴交流总结。

设计意图：

在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的内在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基础。

【活动】活动二：讨论交流，提出问题

【活动】活动三：展示倾听，思维碰撞

【讲授】活动四：归纳提升，共同梳理

【讲授】活动五：课堂小结

【作业】活动六：课后作业

关于教学过程的更多环节详情请下载后观看

六、教学评价

1、本节课评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程。

2、关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。

3、关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

4、关注学生用数学的视角分析和理解现实问题。对于问题研究的深度，可以让不同认识层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。

5、关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度。

七、评价学生活动的参考标准

由于本课题比较开放，教学评价会有一定难度，对学生的小组活动报告进行评价，可参考以下标准：评价结果采用四个等级：A、B、C、D。其分别对应：优秀、良好、中等、基本合格。一般情况，尽量不给予不合格的评价，除非其与D级水平有明显差异。

等级表现描述：

D：

仅仅选定了一个较为简单的课题开展研究，并给出了正确、合理化解答。问题本身、求解过程没有体现综合运用三个“一次模型”的知识的活动。或者虽然提出了一个较为合适的研究问题，但没有提供完整的求解思路、框架、步骤，以及确定的操作程序和明确分工;未能掌握一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的知识，不了解三者之间的关系;提交的课题报告中仅仅阐述了部分课题活动过程，但存在一些明显的表述问题，如结构不完整、一些语言表述不准确、使用了不当的数学语言或符号等;没有对课题活动进行反思的意识。

C：

能够基本准确地提出与一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的研究课题，能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解;小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明;提交的课题活动报告结构基本合理，对活动过程的描述基本正确，可读性一般;但内容至少包括：选择的问题情境、获得数据的过程、建立的数学模型、求解过程、解释与应用等几方面;结合实际问题情境,分类写出多个函数关系,并运用不等式或方程确定函数关系成立的条件,再将所有可能的解用图像表示。能较为正确地使用一些数学语言、符号、图像等进行解释和验证。有对课题活动的过程、方法、结果进行反思的意识，对活动过程中出现的意外情况作必要的处理，包括改变方法、调整方案等。

B：

能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解。小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明。提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰、准确，具备良好的可读性和可交流性;内容应包括：背景问题是如何选取的，问题的哪些方面涉及三个“一次模型”的知识，小组中各个成员分别承担的具体职责，完成了方案的基本步骤，较为明确、深刻的运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识对已选定的实际问题进行分析，正确地使用了必要而恰当的数学语言、符号、图像等进行解释和验证，方法简洁、合理、多样化，涉及归纳、类比、数学化、推理等数学思想方法。能够完成预设方案中的基本步骤，如能够获得解决问题所需的数据，对数据做必要的处理，合理运用于建立符合三个“一次”的数学模型、并获得正确的课题活动结果;提供解释结果正确性的论述过程。能对整个课题活动的过程、方法、结果进行反思，能够对活动过程中出现的意外情况作合适的处理，包括改变方法、调整方案等。

A：

在B级基础上，能够具备下列表现中的2个方面，即可以算作A级。除能够综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识外，还能创造性灵活应用其他相关知识或方法于解决问题的过程中;能够提出富有创意的解决问题思路;能够对课题活动的过程、方法、结果做较为深刻的反思;在此基础上进一步发现一元一次不等式、一元一次方程与一次函数在同一问题中存在的关系和不同意义，将所获得的结论做实质性推广或比较准确地描述不同方法的优劣等;能够进一步提出更一般性的三个“一次模型”的相关问题。