北师大2011课标版《5三角函数的应用》新课标优质课教案设计

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一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：三角函数的应用

【类型一】 利用方向角解决问题

已知该岛周围16海里内有暗礁．

(1)试说明点B是否在暗礁区域外；

(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

解析：(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；(2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．

解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝ eq ﹨f(1,2) x，CD＝ eq ﹨f(﹨r(3),2) x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝ eq ﹨f(CD,AD) ＝ eq ﹨f(﹨r(3),3) ，∴ eq ﹨f(﹨f(﹨r(3),2)x,18＋﹨f(1,2)x) ＝ eq ﹨f(﹨r(3),3) .∴x＝18.∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；

(2)∵CD＝ eq ﹨f(﹨r(3),2) x＝9 eq ﹨r(3) ，9 eq ﹨r(3) ＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．

方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题

【类型二】 利用仰角和俯角解决问题

解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE＝ eq ﹨f(BE,CE) ，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE＝ eq ﹨f(AE,CE) ，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝ eq ﹨f(AE,CE) ，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6 eq ﹨r(3) (米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6 eq ﹨r(3) (米)．

所以，①号楼AB的高为(18＋6 eq ﹨r(3) )米．

方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．