北师大2011课标版《2圆的对称性》新课标优质课教案设计

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一．预习检测

1. 如图，李明想从C村到B村，你能帮他找到一条最近的路线吗?理由是------

2．如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表，哪一条最短？理由是------

（1） （2）

二．探究新知

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．

?如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？理由是什么呢？

例：如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边中点，

E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值________

解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使 OC ′= OC ，连接 DC ′，交AB于E，连接 CE ，此时DE+ CE =DE+EC′= DC ′的值最小．

连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠ CBE =45°，

∴∠ CBC ′=90°，

∴BC′⊥BC，∠ BCC ′=∠BC′C=45°，

∴BC=BC′=2，

∵D是BC边的中点，

∴BD=1，

根据勾股定理可得 DC ′=

小试牛刀1.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，

P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为______

如图，半径为1的半圆弧上有两点C、D，其中∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，在直径AB上存在一点P,使P到C、D两点的距离和最短，这个最短距离和为________

4．综合题

问题探究

(1)请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA＋PC最小；

(2)如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB＝2，BC＝2 eq ﹨r(3) ，点E为BC边的中点，请作一点P，使PE＋PC最小，并求这个最小值；