《综合》优质课教案设计

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掌握如何在运动变化的过程中，抓住某一特殊时刻，“化动为静”，画出草图，借助数形结合解决问题。

教学过程：

例、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC=40cm, BC=30cm，点 从点 出发，以5 cm/s的速度沿 方向移动， 同时点Q从点C出发，以4 cm/s的速度沿CA方向移动,当点Q与点 重合时， P、Q同时停止移动。 设移动时间为t (s)（ t >0），在移动的过程中：

(1)若△APQ为直角三角形，求 的值；

设计思路：这一问题学生只需画出相应得图形并注意分类讨论，然后通过三角形相似建立方程，应该比较容易上手。通过这个问题，主要是让学生进一步理解如何实施“形”到“数”的转化，体会数形结合、方程、转化等数学思想方法，为解决后续问题打下基础。

（2）设△APQ的面积为S，求s的最大值；

设计思路：这一问题是初中数学中的一类典型问题，主要是培养学生学会用函数模型求最值，而这一过程中用相似三角形表示出AQ边上的高PH是关键。让学生进一步体会方程、函数等模型都是实施“形”到“数”转化的常用方法。

（3）①若PQ⊥BQ，求 的值；

②若PC⊥BQ, 求 的值；

设计思路：这两小问在前面的基础上对学生的思维要求有了一定的提高，如果说前面实施“形”向“数”的转化中用到相似三角形是图中本来就有或是趋于问题的自然需求，而在这两个问题中需主动构造出恰当的相似三角形（“K”型），能较好的培养学生解决问题的能力。

(4)设PQ的中点为O, 求证:点O到BC的距离为定值;

设计思路：这是动态类问题中常见的一类，学生往往无从下手，为此可让学生先动手操作并作出猜想，可抓住几个特殊位置（如始点和终点）。然后教师可借助几何画板软件给出直观演示，在此基础上再来和学生探究解决这个问题的方法，实质上只需借助相似三角形表示出中点O到BC的距离。通过对这一过程，使学生学会以静制动，把动态问题转化成静态问题来解决。

(5) 如图， 以Q为直角顶点在Q的左侧作Rt△QDE，直角边DQ与AC在同一直线上,且DQ=6cm, EQ=8cm，以点 为圆心作⊙ 与AC相切，切点为H，与 相交于点 、 ，

①连接NE，当NE∥AC时，求 的值；

②连接NQ，当NQ平分 时，求 的值；

③是否存在某一时刻t，使⊙ 与Rt△QDE的直角边QE所在的直线相切?若存在，求出 的值;若不存在，说明理由.

备用图

分析：（1）由NE∥AC，容易得出NE与AC间的距离相等，即N到AC的距离等于EQ的长度，从而建立方程；

（2）设NQ与DE的交点为I，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半易知ID等于IQ,从而∠IDQ等于∠IQD，而∠IDQ等于∠B，所以∠IQD等于∠B，于是可由△ANQ与△ACB相似建立方程；

（3）当⊙ 在左侧与Rt△QDE的直角边QE所在的直线相切时，画出相应图形，实际此时P与QE的距离就确定了（等于⊙P的半径），由AH、HQ、CQ的和等于AC便可建立方程；当⊙ 在右侧与Rt△QDE的直角边QE所在的直线相切时，同理可得。

设计思路：类似这类问题是近几年各地中考的热点问题，教师首先要让学生“动”起来，认清变化过程中的不同阶段，然后又要“静”下来，以静制动，画出符合条件的图形，借助相似三角形、特殊四边形、三角函数等知识，实施“形”到“数”的转化，最终把动态问题转化成静态问题来解决。

课堂小结： 请同学们谈谈本课的收获与体会？