苏教2003课标版《1.3.3最大值与最小值》集体备课教案设计

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利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

函数极值的定义是什么？

2．探究活动．

求函数f(x)的极值的步骤．

二、建构数学

1．函数的最大值和最小值．

观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)．

一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

说明：

（1）在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数 在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值；

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

（3）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．

2．利用导数求函数的最值步骤：

由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f(x)在(a，b)内的极值；

（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．

三、数学运用

例1　求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间[-1，4]内的最大值和最小值．

例2　求函数f(x)＝ x＋sinx在区间[0，2π]上的最值．

注　在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．