《阅读与思考平面与空间中的余弦定理》集体备课教案设计

《阅读与思考平面与空间中的余弦定理》集体备课教案优质课下载

教学重点：

应用类比推理，由平面余弦定理类比推理出空间中的余弦定理

教学难点：

找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的思想方法.

教学过程：

一、复习回顾：

人们在日常生活和科学研究中经常使用的推理有：合情推理和演绎推理。合情推理又包含归纳推理、类比推理。

德国杰出的天文学家，物理学家，数学家约翰尼斯·开普勒曾高度评价了类比推理：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”

思考：让学生思考他们所知道的类比推理。

生： 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征（火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星，有大气层,在一年中也有季节变更，火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等）。 科学家猜想：火星上也可能有生命存在。

由此强调类比推理的广泛应用。

二、复习回顾类比推理的一般步骤：

（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

（3）检验猜想。

三、由平面内三角形的余弦定理类比出空间四面体的余弦定理

数学中有向量与实数的类比，无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等，求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比问题。

圆→球

三角形→四面体

正三角形→正四面体

为什么平面几何中的三角形可以作为四面体的类比对象？

三角形与四面体的相似特征：从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。从这个角度看，可以把三角形作为四面体的类比对象。

下面，我们就通过类比平面几何中的结论，得到立体图形性质的猜想。

类比平面内直角三角形的勾股定理，给出空间中四面体性质的猜想。

c2=a2+b2