选修1-1《第三章 导数及其应用 复习参考题》优秀教案

选修1-1《第三章 导数及其应用 复习参考题》优秀教案

(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．

(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．

题型一　正难则反的转化

例1　已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．

解　设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

即U＝{m|m≤－1或m≥}．

若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，

则

所以使A∩B≠?的实数m的取值范围为{m|m≤－1}．

点评　本题中，A∩B≠?，所以A是方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．

变式训练1　若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．

答案　

解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．

由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，

即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，

所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，

即m≥－5；

由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，

则m＋4≤－9，即m≤－.

所以使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－

题型二　函数、方程、不等式之间的转化

例2　已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝f(x)－(x＋1)．

(e＝2.718……)

(1)求函数g(x)的极大值；

(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．