选修3-1《第八讲 对无穷的深入思考 二 无穷集合论的创立》优秀教案

选修3-1《第八讲 对无穷的深入思考 二 无穷集合论的创立》优秀教案

二、教学目标

1、了解无穷集合论的创立过程和康托尔的生平

2、理解集合论的内涵

3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度。

三、教学重点：1.无穷集合论的创立过程2.康托尔的生平

教学难点：对无穷集合论的内涵的理解

四、教学过程

（一）思考引入：对无穷（infinite)的困惑

师：无穷是一个很容易想象却很难具体描述的概念，即使是小孩子也能很快地理解无穷这个概念，但数学家们却花了几千年的时间去研究如何遵循严格的逻辑论证去理解无穷。下面让我们一起来看一看，那些曾经让数学家门困惑很久的谜题。

问题1.无穷的运算法则和自然数一样吗

（1） （2） （3）

师： 如果，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到，

如果，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到，

我们知道自然数加减一定能得出一个确定的答案，如果无穷减无穷的结果是不确定，那么是不是说明无穷不是自然数。那么无穷是什么呢？如果无穷就是一个想有多大就有多大的数，从（1）中我们看出等式的左边显然比等式的右边大1，那么是不是说明等式左边的无穷和右边的无穷不是同一个无穷？难道有很多个不同的无穷吗？无穷不是应该都是一样大吗？难道还有不同大小的无穷，我们需要思考无穷的大小吗？

问题2.波尔查诺级数

学生讨论（2）

答案一

答案二

答案三

师:可见如果不清楚无穷的大小，我们就无法进行（2）的计算，那么我们能不能不要进行无穷多个数的计算呢？或者说至少我们可以肯定（1）是正确的？无穷多个数相加结果一定是无穷？

问题3.圆面积公式的推导

师：我们不得不面对无穷多个量求和的问题，如果按照无穷多个数相加结果一定是无穷的直觉，那么这个圆的面积是不是也一个是无穷？

引入小视频《伽利略的困惑》

小结：要了解无穷，我们需要理解（1）什么是无穷？（2）无穷有大小吗？

教学设计说明：对无穷的思考，本就是一个曲折的过程，在数学史上很长一段时间，人们都回避这个问题，因为用有限的头脑是无法理解无限的。但是微积分的出现让人们不得不面对这个问题，教师希望通过数学史上一些著名问题的讨论，让学生参与其中，使学生感受到对无穷大的思考，以及思考的入手方向是自然而必须的。