人教A版选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 三 算术基本定理 算术基本定理》优秀教案设计

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1.大于1的整数必有素约数.

2.设 为素数， 为任意一个整数，则或者 整除 ，或者 与 互素.

事实上， 与 的最大公约数 必整除 ，故由素数的定义推知，或者 ，或者 ，即或者 与 互素，或者 .

3.设 为素数， 为整数.若 ，则 中至少有一个数被 整除.

事实上，若 不整除 ，由性质2知， 与 均互素，从而 与 互素。这与已知的 矛盾.

特别地：若素数 整除 ，则

4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)

证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是 。记

。（N不一定是素数）

由第一节定理2可知， 有素因数 ，我们要说明 从而得出矛盾

事实上，若有某个 使得 则由

推出 ，这是不可能的。因此在 之外又有一个素数 ，这与假设是矛盾的。所以素数不可能是有限个。

5.引理1 任何大于1的正整数 可以写成素数之积，即

(1)

其中 是素数。

证明 当 时，结论显然成立。

假设对于 ，式(1)成立，我们来证明式(1)对于 也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数 成立。

如果 是素数，式(1)显然成立。

如果 是合数，则存在素数 与整数 ，使得 。由于 ，由归纳假定知存在素数 ，使得 ，从而 。证毕。

6.定理2(算术基本定理)

任何大于1的整数 可以唯一地表示成

， (2)

其中 是素数， ， 是正整数。

我们称 是 的标准分解式，其中 是素数， ，是正整数.