选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 三 算术基本定理 算术基本定理》优秀ppt课件

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数的乘积.

结论：任何大于1的整数总可以表示成素

因数乘积的形式.

即任给大于1整数n，总有

n = p1p2?pm， (1)

其中pi（1 ? i ? m）是素数.

第六节 算术基本定理

引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即

n = p1p2?pm， (1)

其中pi（1 ? i ? m）是素数。

证明 当n = 2时，结论显然成立。

假设对于2 ? n ? k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n = k ? 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。

第六节 算术基本定理

如果k ? 1是素数，式(1)显然成立。

如果k ? 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k ? 1 = pd。由于2 ? d ? k，由归纳假定知存在素数q1, q2, ?, ql，使得d = q1q2?ql，从而k ? 1 = pq1q2?ql。

证毕。

第六节 算术基本定理

定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n可以唯一地表示成

， (2)

其中p1, p2, ?, pk是素数，p1 < p2 < ? < pk，?1, ?2, ?, ?k是正整数。

证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性。

第六节 算术基本定理

假设pi（1 ? i ? k）与qj（1 ? j ? l）都是素数，

p1 ? p2 ? ? ? pk，q1 ? q2 ? ? ? ql， (3)

并且