选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理》优秀教案

选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理》优秀教案

[预习导引]

1．共线向量定理

两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.

2．共面向量

平行于同一平面的向量叫做共面向量．

3．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.

4．空间向量分解定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.

表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．

要点一　向量共线问题

例1　如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝，＝.利用向量法求证四边形EFGH是梯形．

证明　∵E、H分别是边AB、AD的中点，

∴＝，＝，

＝－＝－＝(－)＝

＝(－)＝(－)＝(－)＝，

∴∥且||＝||≠||，又F不在EH上，

∴四边形EFGH是梯形．

规律方法判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.

跟踪演练1　如图所示，在空间四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？

解　取AC中点为G.

连接EG，FG，

∴＝，＝，

∴＝＋

＝＋