选修2－2数学《第一章 导数及其应用 1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》精品课教案

选修2－2数学《第一章 导数及其应用 1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》精品课教案

定积分 概念 一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

几何意义 如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积. 基本性质 ? eq ﹨o﹨al(b,a) kf(x)dx＝k? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx(k为常数)；

? eq ﹨o﹨al(b,a) [f1(x)±f2(x)]dx＝? eq ﹨o﹨al(b,a) f1(x)dx±? eq ﹨o﹨al(b,a) f2(x)dx；

? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx＝? eq ﹨o﹨al(c,a) f(x)dx＋? eq ﹨o﹨al(b,c) f(x)dx(其中a

探究点一　定积分的概念

思考1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．

思考2　怎样正确认识定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx?

答　(1)定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．

(2)定积分就是和的极限 eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨i﹨su(i＝1,n,f) (ξi)·Δx，而? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．

(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1　利用定积分的定义，计算? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx的值．

解　令f(x)＝x3.

(1)分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[ eq ﹨f(i－1,n) ， eq ﹨f(i,n) ](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝ eq ﹨f(i,n) － eq ﹨f(i－1,n) ＝ eq ﹨f(1,n) .

(2)近似代替、求和

取ξi＝ eq ﹨f(i,n) (i＝1,2，…，n)，则

? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx≈Sn＝ eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) f( eq ﹨f(i,n) )·Δx

＝ eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) ( eq ﹨f(i,n) )3· eq ﹨f(1,n)

＝ eq ﹨f(1,n4) eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) i3＝ eq ﹨f(1,n4) · eq ﹨f(1,4) n2(n＋1)2＝ eq ﹨f(1,4) (1＋ eq ﹨f(1,n) )2.

(3)取极限

? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx＝ eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) Sn＝ eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨f(1,4) (1＋ eq ﹨f(1,n) )2＝ eq ﹨f(1,4) .

反思与感悟　(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．

(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．