人教B版数学选修2－2《第三章 数系的扩充与复数 阅读与欣赏 复平面与高斯》优质课教案

人教B版数学选修2－2《第三章 数系的扩充与复数 阅读与欣赏 复平面与高斯》优质课教案

课前思考：

1、 _________________________________

______________________________

2、求解一元二次方程

3、阅读材料

我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)时，如果判别式b2-4 ac<0，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。 年，意大利数学物理学家 （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将 分成两部分，使其积为 的问题，即求方程 + =0的根，它求出形式的根为 和 ，积为 ．然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这样表示究竟有什么好处。

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。

课上探究：

（一）虚数的提出：16世纪意大利米兰学者卡尔达诺，第一个把负数的平方根写到公式中，我以类似的方法，将一元三次方程 的一个根 也写到带有负数的平方根的式子里。

（二）初步认识复数三角形式的乘法与乘方

引例1 z1=cosα+isinα, z2= cosβ+isinβ,求z1z2和

引例2 z=cosα+isinα, 求z2 、z3、 z4

例、 及 用 与 表示的式子（正余弦三倍角公式的推导）

解： ）

想一想

某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转，后向前走1km后向左转300，如此下去，能回到出发点吗？

解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为 Ox轴，

建立如图所示的复平面.

∴第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是

1+( )，第三个1km的终点C对应的复数是1+( )+( ).

如此下去，走第 个1km时所达到的点对应的复数是1+( )+( )+ ，即1+( )+( )2+

=