选修3－1 数学史选讲《第二章 中国古代数学瑰宝 2.3 古代数学精英》优秀教案

选修3－1 数学史选讲《第二章 中国古代数学瑰宝 2.3 古代数学精英》优秀教案

但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的 立方根 。在 代数 方面，他正确地提出了 正负数 的概念及其加减运算的法则，改进了 线性方程组 的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和 圆周长 的方法。他利用割圆术科学地求出了 圆周率 π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和 圆面积 之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的 科学方法 ，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。

刘徽在数学上的 贡 献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数

刘徽

”的思想，这方法与后来求无理根的 近似值 的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性 方程 组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差 级数 前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《 九章算术 》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以 数学证明 为其联系 纽带 的理论体系。

刘徽在 割圆术 中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的 创造性 、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

个人成果

刘徽的数学成就大致为两方面：

一是整理中国古代数学体系并奠定了它的 理论 基础，这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：

数系理论

①用数的同类与异类阐述了 通分 、 约分 、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的 增广矩阵 。

③在勾股理论方面?逐一论证了有关 勾股定理 与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

面积与体积理论

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着 余辉 。

二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的 创见 ：

①割圆术与圆周率， 他在《九章算术?圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从 圆内接六边形 开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。

②刘徽原理?在《九章算术?阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。

“牟合方盖”说

在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球 体积公式 V=9D3/16(D为 球直径 )的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的 几何模型 。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。

方程新术

在《九章算术 方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。

重差术

在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的 牛顿 ”。

代表著作

1.著作简介