人教B版数学选修3－1 数学史选讲《第二章 中国古代数学瑰宝 2.3 古代数学精英》优质课教案

人教B版数学选修3－1 数学史选讲《第二章 中国古代数学瑰宝 2.3 古代数学精英》优质课教案

??? 据《易．系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有 13个独立符号， 记数用合文书 写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。

???? 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

??? 表示一个多位数字时，采用十 进位值制 ，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵 十横，百立千僵 ，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

??? 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。

??? 在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了 规 、矩、准、 绳等作图 和测量工具，并早已发现「勾三股 四弦五 」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国 人着 的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

??? 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载 了惠施等人 的名家学说和 桓 团、公孙龙 等辩者提出 的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大 无外谓之 大 一 ，至小 无内谓之 小 一 」、「一尺之 棰 ，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

??? 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

中国数学体系的形成与奠基

??? 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共 400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

??? 现传中国 历史最早的数学专著是 1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前186年），所以该书的成书年代至晚是公元前186年（应该在此前）。

??? 西汉末年﹝ 公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就： (1)提出勾股定理的特例 及普遍 形式；(2)测太阳高、远的 陈子测日法 ，为后来 重差术 （勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

??? 《九章算术》是一部经几代人整理、 删 补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年﹝公元前一世纪﹞。全书采用问题集的形式编写，共收集了 246个问题及其解法，分属于方田、粟米、 衰分 、少广、商功、均输、 盈不足 、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国 古算影响 深远。它的一些成就如 十进制值制 、今有术、 盈不足术 等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

??? 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人 赵爽是中国 古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释 ,在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理，他的方法已体现 了割补 原理的思想。 赵爽还提出 了用几何方法求解二次方程的新方法。263年，三国魏人刘徽注释《九章算术》，在《九章算术注》中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷1《方田》中创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的办法），为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量术---- 重差术 。

??? 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。约于公元四 -五世纪成书的《孙子算经》给出「物不知数」问题并作了解答，导致求解一次同余组问题在中国 的滥畅 ；《张丘建算经》的「百 鸡问题 」引出三个未知数的不定方程 组问题 。

??? 公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就： (1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π 的约率为 22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的 最佳值 ，欧洲直到十六世纪 德国人鄂图 （ valentinus otto ）和荷兰人安托尼兹（ a.anthonisz ）才得出同样结果；(2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出" 幂势既同则积 不容异"的体积原理， 即二立体 等高处 截面积均相等 则二体体积相等的定理。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利（ bonaventura cavalieri ）才提出同一定理；(3)发展了二次与三次方程的解法。

??? 同时代的 天文历学家 何承天 创调日 法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。

中国数学教育制度的建立

??? 隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王 孝通撰 《缉古算经》，主要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、勾股章中开方理论。

??? 隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。 656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由 太史令 李淳风等人编纂注释《算经十书》﹝包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》﹞，作为算学 馆学生 用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。

??? 由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元 600年，隋代 刘焯在制订 《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐代 僧 一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

??? 唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。

中国数学发展的高峰

??? 唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下： 贾宪的 《黄帝九章算法细草》﹝ 11世纪中叶﹞，刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞，秦九韶的《数书九章》﹝1247﹞，李冶的《测圆海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275﹞，朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元玉鉴》﹝1303﹞等等。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：

??? 公元 1050年左右， 北宋贾宪 （生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次 幂 的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（ william george horner ）才得出同样的方法。 贾宪还 列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已 佚 ）

??? 公元 1088—1095年间，北宋沈 括 从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈 括 还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。