苏教版选修2-2数学《第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率-导数 瞬时速度与瞬时加速度》优秀教学设计

苏教版选修2-2数学《第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率-导数 瞬时速度与瞬时加速度》优秀教学设计

3．理解瞬时变化率与导数间的关系，掌握函数在某点处导数的定义．

【核心扫描】

1．瞬时变化率的概念和导数的概念．(重点)

2．理解函数在某点处的导数．(难点)

一、自学导引

1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率

如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝ eq ﹨f(f?x＋Δx?－f?x?,?x＋Δx?－x) ＝ .

当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于 时， eq ﹨f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx) 无限趋近于点P(x，f(x))处的 ．

2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度

(1)如果当Δt无限趋近于 时，运动物体位移s(t)的平均变化率 eq ﹨f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt) 无限趋近于一个 ，那么这个

称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率 eq ﹨f(v?t0＋Δt?－v?t0?,Δt) 无限趋近于一个 ，那么这个

称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对时间的瞬时变化率．

3．导数的概念

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于____时，比值 eq ﹨f(Δy,Δx) ＝ eq ﹨f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) 无限趋近于一个 ，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当Δx无限趋近于0时， eq ﹨f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) 无限趋近于常数A”就可以表示为“当Δx→0时， eq ﹨f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) →A”．

名师点睛

1．平均变化率和瞬时变化率的关系

平均变化率 eq ﹨f(Δy,Δx) ＝ eq ﹨f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) ，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0点的瞬时变化率．

即有：Δx趋于0是指自变量间隔Δx越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．

2．平均速度和瞬时速度的关系

平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化情况的．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．

3．求瞬时变化率

求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法，求解过程较为繁琐，根据教材概括也可以按以下方法求解：

(1)设Δx＝x1－x0，求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率 eq ﹨f(Δy,Δx) ＝ eq ﹨f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) ；(3)当Δx趋于0时， eq ﹨f(Δy,Δx) 趋于一个常数，即为函数在x0点的瞬时变化率.