湘教版必修一数学《第1章 集合与函数 小结与复习 复习题一》优秀教学设计

湘教版必修一数学《第1章 集合与函数 小结与复习 复习题一》优秀教学设计

1.函数的周期性

若存在常数T ≠0,使对任意x∈D都有f（x+T）＝f（x）,则称函数y=f(x)为周期函数，常数T叫做函数的一个周期。（函数周期不止一个，周期的整数倍也是该函数的周期）

周期性的几个结论

（1）若f(x+a)＝f(x+b)(a≠b）,则f(x)是周期函数,︱b－a︱是它的一个周期；

（2）若f(x+a)＝－f(x)（a≠0），则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；

（3）若f(x+a)＝ (a≠0，且f（x）≠0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期.

2．函数的对称性

（1）若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，

（2）若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；

（3）若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f(x)的图象关于点（ ，0）中心对称，

（4）若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.

（5）函数 y＝－f（x）与 函数y＝f（x）的图像关 于ｘ轴对称

（6） 函数y＝－f（－x）与函数y＝f（x）的图像关 于原点对称

（7） 把函数y＝f（x）的图像在x轴下方的图像沿着x轴翻到x轴上方，x轴上方的图像不变，就得到的函数y＝ ︱ f（x）︱的图像

（8）把函数y＝f（x）的图像在y轴左侧的图像去掉，y右侧的图像沿着y轴对称翻折到y轴左侧、y轴右侧的图像不变方的图像不变，就得到的函数y＝f(︱x︱)的图像

三．例题解析

【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；

②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；

③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；

④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

其中正确的命题序号是 .

【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t)与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

【例2】 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( )

A．2 B．3

C．4 D．5