必修二《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.5 向量的数量积 4.5.2 利用数量积计算长度和角度》优秀教案

必修二《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.5 向量的数量积 4.5.2 利用数量积计算长度和角度》优秀教案

5．知道什么是余弦定理. 重点：学会用向量的模、夹角余弦公式、乘法公式求向量的模、夹角等；

难点：模与夹角的综合问题；

疑点：向量数量积与实数乘法运算的区别与联系.

1．长度公式

利用数量积计算向量的模(即长度)的公式：|a|＝(长度公式)．记a2＝a·a，则a2＝|a|2，长度公式成为|a|＝.

2．夹角余弦公式

夹角余弦公式：对于任意两个非零向量a，b，有：cos〈a，b〉＝＝.

3．向量垂直条件

对任意两个向量a，b(不论它们是否为零)，都有a·b＝0a⊥b.

4．向量乘法公式

(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；

(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

5．余弦定理

余弦定理：已知两边CA，CB的长度及夹角C的大小，可以求出第三边AB的长度|AB|＝.已知三边长可以求出任意一个内角的余弦，从而求出这个内角cos C＝.

根据余弦定理怎样推导勾股定理？

提示：根据余弦定理cos C＝，若∠C＝90°，则△ABC为直角三角形，cos C＝0，余弦定理就变成|AB|2＝|CA|2＋|CB|2.

在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点

一、向量模的计算问题

已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，求：

(1)a·b；(2)(2a－b)·(a＋3b)；

(3)|3a＋b|；(4)|a－2b|.

思路分析：对于(1)和(2)，可按照数量积的定义或先按乘法公式展开，再应用数量积定义计算；对于(3)和 (4)，可根据向量模的公式|a|＝，转化为数量积的计算问题．

解：(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos 120°＝－3.

(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2