湘教版必修二《第3章 三角函数 3.3 三角函数的图象与性质 3.3.2 正切函数的图象与性质》优秀教案设计

湘教版必修二《第3章 三角函数 3.3 三角函数的图象与性质 3.3.2 正切函数的图象与性质》优秀教案设计

教学重点 正切函数的图象

教学难点 正切函数的性质的简单应用

教学方法 引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题（启发引导式）

教具准备 三角板 圆规 小黑板

教学过程

Ⅰ．设置情境 前面我们研究了正余弦函数的图象和性质。今天我们来探讨一下正切函数的图象以及它的性质。为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图。那么怎样画 的图象呢？

问题1请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的？

（在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线MP，设MP=y ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点．）

问题2 我们能否利用单位圆中的正切线来绘制 图像呢？

Ⅱ 探索研究

师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？

∴ 是周期函数， 是它的一个周期．

师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，由于正切函数函数的定义域的不连续性。下面我们利用正切线画出函数 ， 的图象。

图1

图2

作法如下：① 作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆．

② 把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③ 找横坐标（把x轴上 到 这一段分成8等份） ④ 找纵坐标，正切线平移．⑤ 连线．

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ，且 的图像，并把它叫做正切曲线（如图2）．

由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组

（2）正切函数的性质 （教师引导，学生观察图象得出）

①定义域：

②值域：R. 当 时 ，当 时

由正切曲线可以看出，当x小于kπ＋ (k∈Z)且无限接近于kπ＋ 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 x大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）．这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．

因此，正切函数的值域是实数集