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选修2－2《第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法》优秀ppt课件
探究一
探究二
探究三
综合法的应用
【例1】 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.求证:a,b,c成等差数列.
思路分析:从已知条件中的等式出发,寻求sin A,sin B,sin C之间的关系,然后结合正弦定理证明结论.
证明:因为sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,
所以sin B(sin A+sin C)+(cos 2B-1)=0,
即sin B(sin A+sin C)-2sin2B=0,
所以sin B(sin A+sin C-2sin B)=0,
由于在△ABC中,sin B≠0,
因此sin A+sin C-2sin B=0,
由正弦定理可得 ,
于是a+c=2b,故a,b,c成等差数列.
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc,
所以a(b2+c2)≥2abc.①
同理可得b(c2+a2)≥2abc,②
c(a2+b2)≥2abc.③
又因为a,b,c不全相等,所以①②③三式中不能同时取到“=”,
故①②③三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.