如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120° ，若异面直线A1B和AD1相互垂直，试求AA1的长．_高中数学试题

试题内容

如图，在四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120° ，若异面直线A₁B和AD₁相互垂直，试求AA₁的长．

答案解析

【答案】

连接CD₁，AC，如图．

由题意得四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥BC，A₁D₁＝BC，

∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，

∴A₁B∥CD₁，

∴∠AD₁C(或其补角)为A₁B和AD₁所成的角．

∵异面直线A₁B和AD₁相互垂直，

∴∠AD₁C＝90°.

∵四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，且侧面都是矩形，

∴△ACD₁是等腰直角三角形，∴AD₁＝AC.

∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝，∠ABC＝120°，

∴AC＝2×sin60°×2＝6，AD₁＝，

∴AA₁＝

【解析】

所属考点

直线与直线垂直

直线与直线垂直知识点包括异面直线所成的角、求异面直线所成的角的步骤等部分，有关直线与直线垂直的详情如下：异面直线所成的角求异面直线所成的角的步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°

录入时间：2021-03-15 14:59:22

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∴AA1＝

直线与直线垂直

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∴AA₁＝