《分组分解法》公开课教案下载

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1．因式分解：

(1)a4－18a2＋81；(2)a3＋6a2＋9a；

2．根据1中得到的式子尝试因式分解：a4－a3－12a2＋9a＋81.

二、合作探究

探究点：分组分解法分解因式

【类型一】 运用分组法分解因式

因式分解：

(1)a2＋4ab＋4b2－2a－4b；

(2)x3＋6x2＋11x＋6.

解析：(1)前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x3＋6x2＋9x＋2x＋6的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可．

解：(1)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋2b－2)；

(2)原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋6＝x(x＋3)2＋2(x＋3)＝(x＋3)[x(x＋3)＋2]＝(x＋3)(x2＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．

方法总结：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型二】 运用分组法分解因式判定三角形的形状

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．

解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．

方法总结：通过分组并利用完全平方式将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型三】 整体代入求值

已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值．

解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．

解：x2－y2－2y＋2x＝(x＋y)(x－y)－2(y－x)＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.

方法总结：若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑分组分解，常用的分组方法有两、两分组，一、三分组，分组应满足各组有公因式或符合公式，且各组之间有公因式或符合公式．