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人教2011课标版《勾股定理及其逆定理的综合应用》新课标教案优质课下载
教学过程
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】 判断三角形的形状
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC
＝ eq ﹨r(52＋52) ＝5 eq ﹨r(2) ，AC＝ eq ﹨r(32＋32) ＝3 eq ﹨r(2) ，AB＝ eq ﹨r(22＋82) ＝ eq ﹨r(68) .在△ABC中，∵BC2＋AC2＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.
方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝ eq ﹨f(1,4) AD.求证：CE⊥EF.
解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝ eq ﹨f(1,4) AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
【类型三】 勾股数
判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A．1， eq ﹨r(2) ， eq ﹨r(3) B．8，15，17
C．7，14，15 D. eq ﹨f(3,5) ， eq ﹨f(4,5) ，1
解析：选项A不是，因为 eq ﹨r(2) 和 eq ﹨r(3) 不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为 eq ﹨f(3,5) 与 eq ﹨f(4,5) 不是正整数．故选B.
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题