人教2011课标版《24.1.2垂直于弦的直径》新课标优质课教案设计

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能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．过　程

方　法在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．

进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．情　感

价值观使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．利用垂径定理解决一些实际问题.教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容(展示幻灯片1)

教师：从乌江桥拱大家能看出什么样的几何图形？

乌江桥的跨度是80m，拱高20m，请问大家会求桥拱的半径吗？要想解决这个问题，请进入我们今天的学习.（板书标题：24.1.2垂直于弦的直径）

请大家动手做一做并回答下面问题：

活动1：剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

我们如何来证明这个结论呢？其实要证明圆是轴对称图形，我们只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上，（展示幻灯片）

活动2：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外任意一点，过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M，连接OA，OB．你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？(课件：探究垂径定理)

学生活动设计：如图，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，由等腰三角形三线合一的性质得AM=BM．由此得到CD是AB的垂直平分线，也就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直径CD对称，即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M，那么点A与点B是对称点，把圆沿着直径CD折叠时，点A与点B重合，因此AM=BM，弧AC=弧BC，同理得到弧AD=弧BD．即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB，弧ADB.

教师活动设计：

在学生猜想、验证、归纳的基础上，引导学生归纳垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.并用符号语言来描述.

进一步，我们还可以得出推论:

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

活动3：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例

活动4：例题示范

例1.已知如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，若圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径为 cm. .

学生活动设计：

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，在直角三角形中可以利用勾股定理求解．

教师活动设计：

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来。