《7.8无穷等比数列各项的和》精品优质课教案设计

《7.8无穷等比数列各项的和》精品教案优质课下载

重点难点

无穷等比数列的各项的和的求法；无穷等比数列的各项的和的应用。

教学过程

一、引入课题

今天我们学习无穷等比数列各项的和.

在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是.那么对于呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？

今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.

二、概念产生的过程

我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.

（1）求无穷等比数列，即：各项的和.

分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前项的和，下面我们就探讨与“各项和”的关系？

求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前项和，对于数列，.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“”，那么前项和与“”的关系为：当愈来愈大时，就会接近、无限制地接近这个和“”.根据前面学习过的极限的知识，这个和“”应该是前项和的极限.

通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.

用已知刻画未知.我们已知的是前项和以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列，已知，且.根据前面所认识到的前项和的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义.

对于无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.即：.

（2）上升到一般的无穷等比数列，其中，

１），，的极限不存在；

２） ，

当，的极限不存在；

当时：，所以：，

即前项和的极限存在且等于.

定义：对于的无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.

三、应用

（1）无限循环小数的问题

对于，是表示首项为，公比为的无穷等比数列数列各项的和，