选修2-2《1.3.1函数的单调性与导数》优质课教案下载

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教学重点：

能用拉格朗日中值定理简捷的解决一些恒成立和不等式证明问题

教学难点：

理解割线斜率与切线斜率间的不等价性

教学过程：

引入：

已知 ，若 ， ， ，求

的范围.

设问1：如果把 改成 ，又该如何处理呢？

分析：如果想对左侧求最小值，我们应该考虑把左侧的两个变量变成一个变量，由于 的存在，这个显然有难度，我们可以考虑把这个不等式变形一下，构造函数处理。

我们把这种通过构造函数解决问题的方法称为构造法，这也是处理这一类问题的常用方法，是一种传统的思维模式，方法容易掌握，但对有些题目来说计算会比较复杂，有没有更好的方法去解决呢？

观察这个不等式的左侧，我们发现有点像两点连线的斜率，我们不妨设 ，因为A、B都在 上，所以它是 的一条割线的斜率。

设问2：如果把这条割线平移，能不能得到斜率相等的切线呢？

答案是肯定的。而且由于 ， 的任意性，我们可以假设 无限小，那么必定 ，使得 ，因为在 上有无数个这样的小区间，这样就满足了 在 上的任意性。

也就是说，对于一个连续可导函数，任意一条割线都可以至少找到一条斜率相等的切线，这就是高等数学中的拉格朗日中值定理：

虽然是高等数学内容，但是学生从几何直观上不难理解这个定理。

设问3：如果把 的一条切线平移，能不能得到与之对应的一条割线呢？

以 为例说明，因为 ，即 在 处的切线斜率为0，但是 上并不存在斜率为0的割线。

设问4：若记P= ,Q=

那么P和Q之间是什么关系？

对于连续可导函数及任意的 , ，根据拉格朗日中值定理，必存在

，使 ，也就是说对任意的割线AB，总存在一条切线，使切线斜率等于割线斜率，反之不成立，因此P Q。