沪教版高二上册《第8章 平面向量的坐标表示 8.4 向量的应用 向量的应用》优秀教案设计

沪教版高二上册《第8章 平面向量的坐标表示 8.4 向量的应用 向量的应用》优秀教案设计

二、教学重、难点

重点：初步掌握应用向量解决三类问题的基本方法。

难点：培养学生自觉使用向量解决问题的意识。

三、教学步骤

（一）引入课题

向量是近代数学中重要的基本概念之一，是沟通代数、几何与三角的一座桥梁，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。我们如果能合理地应用向量解决几何、代数的证明，过程会更加简洁、更加巧妙，完成后的成就感也会倍增，希望同学们能在接下来的探索中好好体会。

（二）向量应用

1、应用向量实现几何证明

例1、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例2、在中，已知，求证：。

练习：在等腰中，为底边的中点，求证。

小结：对于几何证明，基本方法是合理利用平面向量的分解定理，关键是找到恰当的基向量。

2、应用向量解决力学问题

例3、一个质量为20的物体用两根绳子悬挂起来，如图所示，两根绳子与铅垂线的夹角分别为和。求这两根绳子所承受的力。(精确到0.1N)

小结：对于力学问题，和物理中运用力的正交分解不同，数学方法是建立直角坐标系，将力的向量坐标表示出来，然后进行坐标运算解决问题。

3、应用向量证明代数定理

例4、设，求证：，当且仅当时等号成立。

例5、用向量的方法证明：。

练习：在中，已知的长分别为，用向量方法证明：。

小结：对于代数证明，可根据代数形式展开联想，构造成某种向量运算（如数量积、模等），通过证明向量的结论完成证明。关键在于合理构造向量。

（三）课堂小结

基本方法 关键点

几何问题 平面向量的分解定理 基向量的选择

力学问题 建立坐标系联立方程组 向量坐标的设置

代数问题 向量的数量积、模的运算 合理构造向量