沪教版数学高二下册《第12章 圆锥曲线 12.6 双曲线的性质 探究与实践 课题二 探索点的轨迹 》优质课教案

沪教版数学高二下册《第12章 圆锥曲线 12.6 双曲线的性质 探究与实践 课题二 探索点的轨迹 》优质课教案

教学重点：双曲线的旋转变换。

教学难点：坐标平面内任意一点绕原点旋转的坐标变换公式。

教学过程：

坐标平面内任意一点绕原点旋转：

例1、在下列问题的空格处填入适当的坐标，并完成之后的公式：

点（1,0）绕原点旋转90°到点(0,1)；

点（1,0）绕原点旋转任意角α到点 (cosα,sinα)；

单位圆周上任意一点 绕原点旋转任意角θ到点

P’(cosαcosθ-sinαsinθ，cosαsinθ+sinαcosθ)；

坐标平面内任意一点 绕原点旋转任意角θ到点

P’(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)。

上述即为坐标平面内任意一点的旋转公式：

坐标平面内任意一点 绕原点旋转任意角θ 到点 ，那么

。这个公式在矩阵与行列式一章中的探究与实践中已有涉及。

二、双曲线的旋转变换：

例2、求将方程xy=8对应的曲线绕原点旋转 - 45°得到的曲线对应的方程。

解：

在旋转后得到的曲线上任取一点 ；

将 绕原点旋转45°得P’( )；

由题意，点P’在xy=8对应的曲线上，将P’的坐标代入曲线方程xy=8得

；

化简得旋转后的曲线对应的方程为 ；

可以看到旋转后的曲线是一条标准双曲线，由此可知反比例函数 的图像可由标准双曲线经旋转得到。标准双曲线 对应的特征量（实轴、渐近线等）都可以与原曲线的特征量通过旋转加以对应。

例3、试证：函数 的图像可由一条实轴在x轴上的标准双曲线旋转后得到。

观察图像，猜想函数 的图像旋转 后可以得到一条实轴在x轴上的标准双曲线。下面给出这条标准双曲线的方程。