人教A版选修4-5 不等式选讲数学《引言》优秀教学设计

人教A版选修4-5 不等式选讲数学《引言》优秀教学设计

二、教学重点难点

1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；

2、本专题的教学难点：?三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、 绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。

三、教材分析

选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的4个模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：

第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式 6 个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求 理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，?学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，?教材通过一些简单问题，?回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的 课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法在必修5不等式章节已经有简单介绍，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，?比如舍掉或加进一些项，?在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等。本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，?教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.第四题。排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究 ——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”．?数学归纳法在选修 2-2 中学习，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。

四、教学计划

1、回顾并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有：?

第一、初中课标要求的不等式与不等式组 (1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

第二、高中必修5不等式内容：?(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。(4)基本不等式及其应用（求最值）。

第三、高中选修 2-2 推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。

五、作业

通过查阅资料，了解柯西在数学方面的造诣，下节课可以制作ppt，可以通过讲授的形式和同学分享。