选修4-5 不等式选讲《引言》优秀教案

选修4-5 不等式选讲《引言》优秀教案

2.理解将军饮马问题在圆锥曲线中的应用；

3.领悟数形结合、分类讨论、转化与化归等重要数学思想在研究圆锥曲线中的作用。

重点：将军饮马问题的应用与拓展。

难点：将军饮马问题在圆锥曲线中的应用。

教学过程：

一、饮马问题背景（走进数学故事）：

【设计意图】：从熟悉的诗歌、数学典故中挖掘出有价值的数学问题，让学生体会数学是来源于生活、应用于生活.要用数学的眼光观察现实世界.

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？

（师生共作）解决方法：（幻灯片演示过程）

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取A关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的．

（追问：为什么？）

如果将军在河边的另外任一点饮马，所走的路程就是，但是，可见，在C点外任何一点饮马，所走的路程都要远一些。

（需要强调说明的几点：）

（1）由作法可知，河流相当于线段中垂线，所以。

（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于，三点共线，所以C点为最优解。

（师介绍：）这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。

（师问：）

“将军饮马”问题中“利用轴对称变换化折为直”的思想方法，将该问题转化为“两点间线段最短”，也即是“三角形两边之和大于第三边”的问题。

下面进一步探讨“将军饮马”问题的本质。

饮马问题本质（探索数学本质）：

【设计意图】：让学生把握数学知识的本质，能建立数学模型，会用数学的思维思考现实世界.

探究一（师生共作）：已知A、B在直线L同侧（或异侧），在直线L上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。如图所示：（幻灯片演示过程）