苏教版必修五《第1章 解三角形 1.1 正弦定理 习题1.1》优秀教案设计

苏教版必修五《第1章 解三角形 1.1 正弦定理 习题1.1》优秀教案设计

3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．

教学重点：

正弦定理及其证明过程．

教学难点：

正弦定理的推导和证明．

教学过程：

一、问题情境

从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．

探索1　我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt 中，设 ，那么边角之间有哪些关系？

， ， ， ， ， ， ， , , ……

探索2　在Rt 中，我们得到 ，对于任意三角形，这个结论还成立吗？

二、学生活动

把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．

学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．

教师再通过几何画板软件进行验证（如图1 ）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．

图1

三、建构数学

探索3　这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设 为最大角，若 为直角，我们已经证明结论成立，如何证明 为锐角、钝角时结论成立？

师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．

证法一　若 为锐角（图2（1）），过点 作 于 ，此时有 , ，所以 ,即 ．

同理可得 ,所以 ．

（1） 　　　　　　图2　　　　　　　（2）

若 为钝角（图2（2）），过点 作 ，交 的延长线于 ，此时有 ，且 ，同理可得 ．综上可得，结论成立．

证法二　利用三角形的面积转化，先作出三边上的高 、 、 ，则 ， ， ．

所以 = = ，每项同时除以 ，