选修2-1《第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.2 空间线面关系的判定》优秀教案

选修2-1《第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.2 空间线面关系的判定》优秀教案

线面垂直

面面垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a⊥b?a·b＝0

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R

设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0

思考　

1．用向量法如何证明线面垂直？

答案　证直线的方向向量与平面的法向量平行．

2．平面α上的向量a与平面β上的向量b垂直，能判断α⊥β吗？

答案　不能．

题型一　证明线线垂直问题

例1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.

证明　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，

因而E(0，，)，F(，，0)，

所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)，

因此·＝0.

从而⊥，所以EF⊥BC.

反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD.

证明　以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．

∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．

∴C(，，0)，E(，，)．

设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，