湘教版数学选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.3 定积分的概念》优质课教案

湘教版数学选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.3 定积分的概念》优质课教案

问题：

设一物体沿 直线作变速运动，在时刻 时物体所在位置为 ,速度为 ，

问题分解：

（1）如何用 表示 内的位移 ?-

（2）如何用 表示 内的位移 ?

（3）怎样由物理意义求物体在 上所做的位移 ？

三、知识讲解

考点一 定积分的定义和相关概念

曲面多边形：由直线 ，曲线 所围成的图形成为曲边梯形。

求曲面多边形面积的步骤：

（1）分割；（2）以直代曲（近似值）；（3）求和；（4）逼近（取极值）。

定积分的概念：

一般地，如果函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式 。

当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分，记作 ，即 。

在这里， 和 分别叫做积分下限和积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式。

考点二 定积分的几何意义

当函数 在区间 上恒为正时，定积分 的几何意义是由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)．

一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、曲线 以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 轴下方的面积等于该区间上积分值的负值。

考点三 定积分的性质

(1) ( 为常数)；

(2) ；

(3) (其中 )。

注意：

（I）性质（1），（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性。

（II）性质（1）的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积。